2023-01-30

从 3x3 到 4x4：齐次坐标如何把平移装进矩阵

前两篇把线性变换讲到了旋转、缩放、错切，但还差一个最常用的动作没统一进来：平移。

这也是我觉得很多 Unity 初学者第一次看 Matrix4x4 会突然断层的原因。前面 2x2 还在讲“轴怎么变”，一到 4x4 就像突然多出一堆和项目代码很近、但又说不清为什么存在的数据。

这件事如果只站在线性代数的严格定义上看，会比较尴尬。

因为线性变换要求原点不动，而平移天生会把原点搬走。

可图形学又必须把旋转、缩放、平移放进一套统一流程，否则渲染管线和引擎实现会变得很碎。

解决方案就是齐次坐标。

一、为什么二维里要从 2x2 升到 3x3

二维点 (x, y)，如果只用 2x2 矩阵，平移做不到。

因为 2x2 乘法本质上只能做线性组合，没法凭空加一个常量位移项。

比如你想把点变成：

$$
(x’, y’) = (x + t_x, y + t_y)
$$

这件事不是纯粹依赖 x 和 y 的线性组合，它额外需要一个常量“1”。

所以图形学里把二维点扩展成：

$$
\begin{bmatrix}
x \
y \
1
\end{bmatrix}
$$

于是平移就能写进 3x3 矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & t_x \
0 & 1 & t_y \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$

这样一乘，位移项就自然加进去了。

二、这个“多出来的 1”到底有什么用

它的作用不是为了数学形式好看，而是给平移留了一个入口。

你可以把它理解成：

前两维还是原来的空间坐标，最后那一维负责把“仿射变换”里的常量项也纳入矩阵乘法。

有了这个常量维度之后，旋转、缩放、平移都能统一用矩阵连乘来描述。

这对引擎非常重要，因为：

数据结构统一
乘法链统一
GPU 顶点处理统一

三、三维世界为什么会变成 4x4

同理，三维空间里的点 (x, y, z) 在图形学中通常扩展成：

$$
\begin{bmatrix}
x \
y \
z \
1
\end{bmatrix}
$$

于是三维里的平移、旋转、缩放，都能用 4x4 矩阵来表示。

这就是 Unity 里 Matrix4x4 的来源。

所以不要把 4x4 看成“为了复杂而复杂”，它的本质只是：

三维空间 + 一维齐次坐标 = 统一表达所有常见空间变换。

四、点和向量在齐次坐标里要区别对待

这个地方特别关键。

点通常写成：

$$
(x, y, z, 1)
$$

向量通常写成：

$$
(x, y, z, 0)
$$

为什么？

因为向量表示的是方向和偏移，它不应该受平移影响。

举个很实在的 Unity 对应：

一个顶点位置，应该跟着平移一起动
一个朝向向量，不应该因为物体整体平移就改变方向

这也正是 MultiplyPoint 和 MultiplyVector 行为不同的根本原因。

五、Unity 里怎么理解 4x4 矩阵的每一部分

如果把 Matrix4x4 当成 16 个数字，阅读成本很高。

更工程化的理解方式是：

前三列：局部坐标系三个基向量在目标空间中的样子
最后一列：原点平移到目标空间后的坐标

所以一个 localToWorldMatrix 可以同时回答两件事：

这个物体的轴朝哪儿了
这个物体被搬到哪儿了

旋转、缩放影响前三列。

平移主要影响最后一列。

六、为什么 TRS 能被合成一个矩阵

TRS 就是 Translation、Rotation、Scale。

单看它们像是三种不同操作，但因为都能写成 4x4 矩阵，所以可以连乘合成一个总矩阵。

也就是说：

$$
M = T \cdot R \cdot S
$$

或者在具体实现里是别的顺序，但本质上都是：

先准备好几段变换，再合成一个总规则。

这个总规则可以一次性把局部点变换到目标空间。

七、为什么引擎这么喜欢“统一成矩阵”

因为统一之后，很多流程都简单了：

父子节点变换可以直接矩阵相乘
CPU 侧和 GPU 侧的顶点变换可以共享同一套表达
相机、物体、投影都能接在一个矩阵链里

从实现角度看，这是一种极高性价比的抽象。

八、一个很容易踩的坑：把点和方向都拿去做同一种乘法

很多自定义工具、程序化生成代码里，会出现这种 bug：

本来要转换一个方向，却用了点变换；或者本来要转换一个位置，却当成向量去乘。

后果通常是：

方向多了一段莫名其妙的偏移
位置少了平移项
射线起点和方向都不对

所以只要你遇到“坐标差一点但总不对”的问题，第一件事就该回头检查：

我现在处理的，到底是点还是向量？

九、在 Unity 里最直接对应的几个 API

这篇学完之后，再看这些接口会非常顺：

transform.localToWorldMatrix
transform.worldToLocalMatrix
Matrix4x4.TRS
matrix.MultiplyPoint
matrix.MultiplyVector
matrix.MultiplyPoint3x4

这些都不是孤立 API，而是在共享同一套齐次坐标和仿射变换框架。

如果你想把“点吃平移、向量不吃平移”这件事一次看明白，可以直接跑下面这段：

Matrix4x4 matrix = Matrix4x4.TRS(
	new Vector3(10f, 0f, 0f),
	Quaternion.identity,
	Vector3.one);

Vector3 point = new Vector3(1f, 2f, 3f);
Vector3 dir = new Vector3(1f, 2f, 3f);

Debug.Log(matrix.MultiplyPoint(point));
Debug.Log(matrix.MultiplyVector(dir));

第一行结果会整体往 x 正方向多出一段平移，第二行不会。项目里只要把这两者混了，很多“怎么总差一点”的 bug 就会出现。

十、总结

齐次坐标不是“数学家为了炫技加的一维”。

它解决的是图形学里一个非常现实的问题：怎么把平移和其他变换统一成一套矩阵乘法流程。

理解了这一点，后面再看 Unity 的 Matrix4x4，你会更容易看出每一块数据的含义。

下一篇开始，就正式落回到 Unity 的 Transform，把局部空间和世界空间的关系讲透。